(Séries, intégrales) 2M250 -
2016-2017
Sur cette page on trouvera des informations sur le cours,
les feuilles d'exercices et leurs corrigés (partiels) ainsi que
les interrogations écrites.
Notation : La note
finale du module sera obtenu en sommant une note de contrôle
continu et une note d'examen. La note de contrôle continu sera
basée sur les interrogations écrites en classe et la
participation en TD. Cette note est sur 25 (si la note
finale d'examen est supérieure à celle du CC, celle d'examen
divisée par 3 sera utilisée).
La note d'examen est sur 75.
Attention, les notes des interrogations écrites en classe
seront harmonisées entre les différents groupes de TD.
DEUXIÈME SESSION 7 JUIN 15h - 17h00.
Dernière modification : Grégory Ginot, 01 juin 2016
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Cours
Le
cours sera basé (mais cependant distinct) sur ceux des années
précédentes. En particulier,
on pourra consulter les polys
suivants :
Ces
notes de cours (ainsi que des annales etc) sont disponibles sur la
page de Jean-Lin Journé que
je vous invite à consulter.
Etat
du cours: Le
premier cours a été consacré à des révisions sur les suites,
la notion de convergence et divergence, manipulations sommatoires.
En particulier séries géométriques et coefficients binomiaux,
rappels sur les inégalités et l'intégration, quelques exemples
et rappels des fonctions usuelles, dérivées, équivalents et DL
à connaître.
Théorème des suites adjacentes et
critère CV+CV= CV et CV+DV= DV. Rappels sur les cas simples de la
décompositions en éléments simples.
Chapitre
I: (Intégrales généralisées) Motivation
via les calculs d'aires. Définition des singularités d'une
fonction définie et continue sauf en un nombre fini de points.
Définition de la convergence (et éventuelle valeur) d'une
intégrale ayant une seule singularité, située en un des bornes.
Définition de la convergence absolue. Proposition: ACV
implique CV. Théorème de comparaison (pour les fonctions
positives),
cas des inégalités et des équivalents.
Nombreux exemples.
Critères de Riemann et Bertrand
(et leurs démonstrations) en une borne infinie et une borne
finie.
Définition de la convergence pour le cas de
singularités multiples ou celles qui ne sont pas au bord.
Comparaison de
cette définition en termes de limites
dépendant de plusieurs paramètres et équivalence avec
l'existence de limites (à droite, à gauche) pour une primitive
en les singularités.
Intégrales semi-CV par l'exemple de sin(t)/t et critère d'Abel.
.
Rappels
de cours à connaître impérativement sur les critères de
convergence.
Chapitre II : (Séries numériques)
Définition et terminologie de suite, convergence (absolue et
semi-convergence) d'une série, somme et reste d'une série convergente.
Exemple fondamental des séries géométriques (à connaître par coeur) et
cas d'une série téléscopique.
Critère de divergence grossière d'une série, théorème de comparaison
pour les séries positives, critère de Riemann, Bertrand pour les séries
et théorème de comparaison séries-intégrales. Critères de
D'Alembert et de Cauchy.
Cas des séries non-positives. Critère des séries alternées et exemples. Critère d'Abel et exemple. Chapitre III : (Séries de fonctions)
Définition et terminologie des suites de fonctions, convergence simple des suites de fonctions. Exemple de x^n sur [0,1].
Séries de Fonctions, définition des notions de convergence simple,
absolue et normale (caractérisation en terme de sup et en terme
d'une série numérique majorante qui converge). Domaine de convergence.
Exemple important à connaître: la série géométrique.
Etude de la série de terme général x^n/n (Domaine de CV, CVN et utilisation de Fubini pour l'identifier à -ln(1-x)).
Théorème de continuité des séries de fonctions, de dérivabilité des
séries de fonction et principe de localité (pour n'avoir à vérifier les
hyp. de CV normale que sur une famille de sous-intervalles recouvrant
un plus gros; il est important de comprendre ce principe assez subtil
mais finalement assez facile à utiliser). Théorème de Fubini et
exemples...
Rappels
de cours sur le théorème de dérivabilité et celui de Fubini
Chapitre IV : (Séries entières)
Définition formelle (cas des variables complexes et réelles),
domaine de convergence, premiers exemples : polynômes, série de Taylor
d'une fonction de classe C∞, série géométrique (notre exemple préféré).
Définition des fonctions DSE (développables en Série entières),
exemples et contre-exemples (les précédents, plus exp et ln(1+x)
(exemple favori numéro 2) ou 1/1-x et exp(-1/x^2)). Lemme d'Abel
pour les séries entières. Définition du rayon de convergence R d'une
série et description des propriétés de convergence d'une série à
l'intérieur et l'extérieur du disque de rayon R. Critères de Cauchey et
D'Alembert pour trouver le rayon de CV; exemples.
Propriétés de continuité, dérivablité etc des sommes de séries
entières (et le fait que la série dérivée a le même rayon de
convergence). Exemples de fonctions DSE. Somme et produits de séries
entières et fonctiosn DSE (minoration du rayon de convergence).
Exemples. Rayon de CV du DSE de f(x^k) quand f est DSE. Etude
du DSE de la fonction (1+x)^a par la méthode de l'éqution
différentielle (cette dernière est à connaitre impérativement). Autre
exemple de résolution d'équation différentielle par des fonctions DSE.
Chapitre V : (aperçu des séries de Fourier)
cf la feuille de TD 6 ci-dessous pour un rappel des notions et résultats importants. Rappels sur les fonctons continues ou de classe C1 par morceaux et
les fonctions périodiques (existence d'une plus petite période, somme
et dérivée restent périodiques, l'intégrale d'une fonction est la même
sur tout intervalle de longueur la période). Séries trigonométriques et
équivalences entre les séries complexes (en exp(inx) et exp(-inx)) et
les séries réelles (en cos(nx) et sin(mx)).
Exemple des polynomes trigonométriques et série trigonométrique associée à une série entière.
Définition de la série de Fourier d'une fonction (continue par morceaux, et absolument convergente).
Identité
de Parseval et corollaires (les coeffs de Fourier tendent vers 0, si
deux fonctions continues ont les mêmes coefficients, alors elles sont
égales).
Théorème de convergence de Dirichlet et Théorème de convergence normale
pour les fcts C1 par morceaux qui sont de plus continues.
Les cours ont lieu tous
les Jeudi
8h30 (précises) – 10h30 (plus epsilon) ...
Amphi 34 A à partir du 10 novembre.
DEVOIR
Il est facultatif; à rendre à votre chargé de TD ou en cours. Au plus tard pour le 10 novembre. Vous pouvez le rédiger à 2.
Devoir . (Selon les groupes de TD, le devoir peut être différent)
Corrigé du Devoir. (mis à
jour le 10 novembre 2016).
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Progression des TDs (Groupe G2)
Mardi 8h45 - 10h30 et Mercredi
16h-17h45 en 24-34, salle 212
On peut télécharger les exercices
et les corrigés des exercices non-vus en classe (plus tardivement
bien sur) feuille de TD par feuille de TD.
Feuille 1:
Exercices traités en TD: 1,2,3, 4
Feuille 2:
Exercices traités en TD: 1, 3, 5
Feuille 3:
Exercices traités en TD: 1, 2, 3, 4 , 6
Feuille 4:
Exercices traités en TD: 1, 2, 3, 4
Feuille 5:
Exercices traités en TD: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Feuille 6:
Exercices traités en TD:
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