Topologie Algébrique
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Progression du cours
La troisième séance a porté sur la notion de recollements d'espaces, de (co)produits (co)fibrés (cad pullback et pushforward). On a insisté sur leurs propriétés universelles, le fait qu'elles ont du sens dans toute catégories et que les topologies quotients et produits donnent des réponses simples à leur existence dans la catégorie des espaces topologiques. Nous avons ensuite étudié la notion de complexes simpliciaux (plongés), et leur réalisation géométrique; ainsi que la notion de subdivision simpliciale. En TDs nous avons repris des exemples de quotiens importants: Tore et autres "surfaces", espaces projectifs. La 4ème séance du cours a porté sur la construction de l'homologie des complexes simpliciaux. Nous avons d'abord défini des notions de morphismes entre objets simpliciaux et celle de triangulation d'un espace topologique. es notions de recollements, des produits cofibrés, des tirés en arrière et de leurs propriétés universelles. Puis on a construit le complexe de chaines associé à tout complexe simplicial ainsi que ses groupes d'homologie; la notion de complexes de chaines et de groupes d'homologie a été donnée en toute généralité, sur un anneau R; ainsi que celle de suites exactes. Enfin on a calculé quelques exemples élémentaires. La 5ème séance a porté sur quelques résultats élémentaires sur l'homologie simpliciale (fonctorialité, calcul du degré 0, cas des complexes finis, des réunions disjointes...). On a donné le morphisme canonique reliant le complexe de chaînes d'un complexe simplicial et celui de sa subdivision et énoncé que c'est un quasi-isomorphisme. Ceci a été prétexte à donner la notion de quasi-isomorphisme, justement, ainsi qu'une digression sur la notion d'équivalence de catégories et transformations naturelles et quelques exemples. La sixième séance a porté sur l'homologie singulière, sa définition, le fait que ce soit un foncteur et ses propriétés élémentaires (homologie d'une réunion disjointe). Description du degré 0, des 1-chaînes, lien avec la concaténation de chemins et fonctorialité. On a énoncé le théorème d'invariance par homotopie et esquissé les points essentiels de la preuve. Les détails sont donnés dans les notes. La
7ème séance a porté sur les théorèmes fondamentaux permettant le calcul
de l'homologie singulière. On a introduit les lemmes fondamnetaux de
l'algèbre homologique La
8ème séance a porté tout d'abord sur l'isomorphsime entre homologie
(quasi-)simpliciale et singulière ainsi que sur le théorème d'Hurewicz
reliant le groupe fondamental au premier groupe d'homologie. Nous avons
au préalable introduit la notion de degré d'un endomorphisme d'une
sphère. Ensuite nous avons établi la formule de Künneth pour calculer
l'homologie d'un produit (après avoir défini le produit tensoriel des
complexes de chaines et évoqué le théorème d'Eilenberg-Zilber). Nous
avons défini la cohomologie singulière et donné les deux théorèmes de
coefficients universels (en homologie et cohomologie). La 9ème séance a tout d'abord porté sur les notions de foncteurs exacts à gauche/droite et d'objets injectifs et projectifs avec des exemples élémentaires. Nous avons introduit la notion de résolutions projectives et injectives, leur existence et unicité à homotopie de chaines près et énoncé le théorème fondamental de relèvement des morphismes à une résolution projective/injective. Enfin, nous avons défini les foncteurs dérivés (à droite ou à gacuhe resp.) associés à un foncteur exact (à gauche ou à droite resp.) et donné leurs principales propriétés (notamment la longue suite exacte en homologie associée). Finalement, nous avons défini le cup-produit en cohomologie et mentionné brièvement son importance et principales propriétés. |
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Devoir Maison Devoir Noté à la maison. Ce devoir fai parttie de la note finale. Il est à rendre le jour de l'examen ! Devoir à la maison. A rendre pour la rentrée. Corrigé du devoir à la maison. Anciens devoirs Devoir Noté à la maison (version de 2018). Ce devoir faisait partie de la note finale. Il était à rendre le jour de l'examen ! Examen de 2018. (Pour s'entraîner). Ce devoir était long et il n'était évidemnent pas du tout nécessaire de le finir pour avoir la note maximale.
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Feuilles de TDs. Ces feuilles sont regroupées thématiquement et pas forcément par
séance de TDs. On ne corrigera pas tous les exercices en classes;
certains état destinés à ceux qui veulent approfondir leurs
connaissances. Des corrigés plus ou moins partiels et détaillés seront
donnés. |