Topologie Algébrique élémentaire — cours de 2ème annéeLes cours sont assurés par Grégory Ginot . Ils ont lieu tous les lundi de 13h45 à 16h15 en salle Henri Cartan (ce qui est un très bon choix vu le sujet du cours). Sur cette page, on trouvera l'avancée du cours et des exercices. Examen: le vendredi 28 janvier en salle Henri Cartan de 9h30 à 12h30.
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| Examen et partiel: Le partiel a eu lieu le 6 novembre, de 13h45 à 16h00 en salle Henri Cartan (la salle habituelle du cours). Au programme: homotopie, revêtements, groupe fondamental. Voici un corrigé succint. Examen: vendredi 28 janvier de 9h30 à 12h30 en Salle Henri Cartan |
Progression du coursQuelques références:Le polycopié du cours (à la FIMFA) de Frédéric Paulin. Le Livre Algebraic Topology de Allen Hatcher mais aussi les livres... Topology and Geometry de G. Bredon Eléments de topologie Algébrique de C. Godbillon Algebraic Topology: a first course de W. Fulton A basic course in algebraic topology de W. Massey ... et bien d'autres ! Dans les deux premiers cours, on a étudié les notions élémentaires d'homotopie (des applications et entre espaces), homotopie relative, rétraction (par déformation), contractibilité, théorème de Brouwer. il y a eu aussi des (r)appels sur le théorème de relévement des angles, la notion de degré d'une application du cercle dans lui même, l'indice d'une courbe par rapport à un point. Partie Revêtements du cours: - On a donné la définition de revêtement et quelques propriétés élémentaires (notion de sections, sections locales, homéomorphisme local...). - Morphismes de revêtements (et unicité); caractérisation des revêtements triviaux et définition d'un esapce simplement connexe (en termes de revêtements et non pas de lacets). Exemples, notion de 1-connexe/simplement connexe par arcs et relation avec la simple connexité - Définition d'un revêtement universel, caractérisation des revêtements universels. Existence des revêtements universels pour des espaces connexes, loc. 1-connexe. Notion de revêtements galoisiens -Définition du groupe fondamental (via les lacets) et du groupe de Galois du revêtement universel; équivalence entre ces groupes pour des espaces gentils et action du groupe fondamental sur les fibres. - Classification des revêtements en présence d'un revêtement universel Partie groupes fondamentaux: -On a introduit et étudié le groupe fondamental en relation avec les revêtements ainsi que le groupoide fondamental. Théorème de Van Kampen (version groupoide et groupe fodnamental) et exemples. CW-complexes : Définitions et propriétés générales; leurs groupes fondamentaux. On a fait une rapide promenade cutlurelle sur l'homotpie supérieure et la notion de fibration. Partie Homologie: - Axiomes d'Eilenberg-Steenrod et premiers calculs et applications (Homologie des sphères, Brouwer). - (R)appels sur les complexes de chaines (lemme du serpent, lemme des 5 etc...) -Construction de l'homologie singulière: simplexes standards, opérateurs de face et définition du complexe singulier d'un espace topologique. - Vérification des Axiomes: (dimension, homotopie, l.s.e associée à l'homologie d'une paire, additivité). Enoncé du théorème d'excision et de Mayer-Vietoris (application au thm d'invariance du domaine) et exemples. - Homologie cellulaire et exemples. - Caractéristique d'Euler-Poincaré Le dernier cours parlera de cohomologie, de quelques jolis théorèmes et quelques exemples (sans démonstrations). Il n'est pas au programme de l'examen. |
ExercicesLes exercices seront en général présentés sous la forme d'exercices relativement aisés destinés à voir si vous avez assimilé le cours et d'autres un peu plus ardu (mais en général pas trop du j'espère).Feuille 1: Autour de l'homotopie et du degré !
Feuille 2: revêtements et encore un peu d'homotopie
Classification des revêtements et groupe fondamental
Feuille 4: Homologie et applications
Feuille 5: Homologie cellulaire et un peu de cohomologie
Feuille "3.5": Une feuille pour aller un peu plus loin que le cours avec quelques exercices autour de l'homotopie supérieure, mais aussi sur Van Kampen et les CW-complexes. |