Einführung in die Differentialtopologie

Seminar, SS2011

Dienstags 16:15 bis 18:00, Raum: SR 1B (MA109)

Christian Ausoni und Ulrich Pennig.

Email:

ausoni (at) uni-muenster.de
u.pennig (at) uni-muenster.de

Aktuelles

John Milnor erhält Abel-Preis 2011 ( Mitteillung der DMV).

Vorläufiges Vortragsprogramm (pdf).
Haben Sie fragen? Melden sich per email oder besuchen Sie uns (Büro 507 und 513).

Überblick

Mannigfaltigkeiten sind Räume wie zum Beispiel eine Sphäre, die lokal wie der Euklidische Raum aussehen. Die Fläche der Erdkugel ist eine Sphäre, hat man uns beigebracht. Aber das widerspricht unserer Erfahrung, da uns unsere Umgebung (besonders in Münster) eher flach erscheint. Kleine Teile der Erde lassen sich gut mit einer Landkarte beschreiben; aber um uns ein globales Bild zu schaffen brauchen wir eine Weltkugel. Oder könnte die Erdfläche eine Kleinsche Flasche bilden? Kleinsche Flasche
Ein Vektofeld In der Differentialtopologie untersucht man globale Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten, die topologisch invariant sind; das sind die Eigenschaften, die durch stetige bijektive Abbildungen (mit stetigen Inverse) erhalten bleiben. Als Hauptwerkzeug benutzt man, erstaunlicherweise, eine lokale Eigenschaft von Mannigfaltigkeiten (die differenzierbare Struktur), die uns zum Beispiel ermöglicht Funktionen abzuleiten und Vektorfelder zu definieren.

In diesem Seminar folgen wir dem Buch von Milnor [1]. Wir werden Mannigfaltigkeiten und Invarianten wie die Euler-Charakteristik und den Abbildungsgrad einführen. Unser Ziel ist es, die Aussagen und die Beweise der Theoreme von Poincaré-Hopf [1, Seite 35] und Hopf [1, Seite 51] zu verstehen.

Programmübersicht

Datum Titel Vortragende Material

1 5. April Grundbegriffe der Topologie; Die Topologie des Rⁿ. J. Bußmann

2 12.April Glatte Untermannigfaltigkeiten, Teil I. B. Rüters

3 19. April Glatte Untermannigfaltigkeiten, Teil II. M. Fischedick Aussarbeitung

4 26. April Tangentialraum und reguläre Werte. M. Stallmann

5 3. Mai Der Satz von Sard. J. Ruske

6 10. Mai Anwendungen des Satzes von Sard. F. Haak

7 17. Mai Approximation von stetigen Abbildungen. T. Boateng

8 24. Mai Der Abbildungsgrad modulo 2. A. Dziuk

9 31. Mai Orientierte Untermannigfaltigkeiten und Abbildungsgrad. J. Köster

10 7. Juni Vektorfelder und Euler-Charakteristik, Teil I. C. Heese

11 21. Juni Vektorfelder und Euler-Charakteristik, Teil II. P. Parfenov

12 28. Juni Gerahmter Kobordismus und Pontryaginkonstruktion, Teil I. F. Jäger

13 5. Juli Gerahmter Kobordismus und Pontryaginkonstruktion, Teil II. K. Dömer

Programmübersicht
	Datum	Titel	Vortragende	Material
1	5. April	Grundbegriffe der Topologie; Die Topologie des Rⁿ.	J. Bußmann
2	12.April	Glatte Untermannigfaltigkeiten, Teil I.	B. Rüters
3	19. April	Glatte Untermannigfaltigkeiten, Teil II.	M. Fischedick	Aussarbeitung
4	26. April	Tangentialraum und reguläre Werte.	M. Stallmann
5	3. Mai	Der Satz von Sard.	J. Ruske
6	10. Mai	Anwendungen des Satzes von Sard.	F. Haak
7	17. Mai	Approximation von stetigen Abbildungen.	T. Boateng
8	24. Mai	Der Abbildungsgrad modulo 2.	A. Dziuk
9	31. Mai	Orientierte Untermannigfaltigkeiten und Abbildungsgrad.	J. Köster
10	7. Juni	Vektorfelder und Euler-Charakteristik, Teil I.	C. Heese
11	21. Juni	Vektorfelder und Euler-Charakteristik, Teil II.	P. Parfenov
12	28. Juni	Gerahmter Kobordismus und Pontryaginkonstruktion, Teil I.	F. Jäger
13	5. Juli	Gerahmter Kobordismus und Pontryaginkonstruktion, Teil II.	K. Dömer

Vorkenntnisse

Lineare Algebra und Analysis.

Anmeldung

Die Anmeldung findet bei der Vorbesprechung oder per e-mail statt.

Literatur

J. W. Milnor, Topology from the differentiable viewpoint, The University Press of Virginia, 1969.
T. Bröcker, K. Jänich, Einführung in die Differentialtopologie, Springer 1990.
K. Jänich, Topologie, Springer 1980.

Scheinerwerb

Notwendig für den Scheinerwerb sind:

Ein 80-minütiger Vortrag; die verbleibenden 10 Minuten der Sitzung werden wir für die Diskussion verwenden.
Aktive Teilnahme am Seminar.
Ein Handout von ein bis zwei Seiten zu Ihrem Vortrag, das die wichtigsten Aspekte des Vortrags enthält.
Eine schriftliche Ausarbeitung des Vortrags; diese muss bis spätestens eine Woche vor dem Vortrag abgegeben werden.

Bitte kommen Sie spätestens drei Wochen vor Ihrem Vortrag bei uns vorbei, um etwaige Fragen zu klären und den Vortrag durchzusprechen.

Für Studenten aus den Bachelorstudiengängen wird der Vortrag benotet; für alle anderen Teilnehmer wird der Schein nicht benotet.

Ch. Ausoni Wednesday, Wed Jan 12 21:50:08 CET 2011

Mannigfaltigkeiten sind Räume wie zum Beispiel eine Sphäre, die lokal wie der Euklidische Raum aussehen. Die Fläche der Erdkugel ist eine Sphäre, hat man uns beigebracht. Aber das widerspricht unserer Erfahrung, da uns unsere Umgebung (besonders in Münster) eher flach erscheint. Kleine Teile der Erde lassen sich gut mit einer Landkarte beschreiben; aber um uns ein globales Bild zu schaffen brauchen wir eine Weltkugel. Oder könnte die Erdfläche eine Kleinsche Flasche bilden?
	In der Differentialtopologie untersucht man globale Eigenschaften von Mannigfaltigkeiten, die topologisch invariant sind; das sind die Eigenschaften, die durch stetige bijektive Abbildungen (mit stetigen Inverse) erhalten bleiben. Als Hauptwerkzeug benutzt man, erstaunlicherweise, eine lokale Eigenschaft von Mannigfaltigkeiten (die differenzierbare Struktur), die uns zum Beispiel ermöglicht Funktionen abzuleiten und Vektorfelder zu definieren.
In diesem Seminar folgen wir dem Buch von Milnor [1]. Wir werden Mannigfaltigkeiten und Invarianten wie die Euler-Charakteristik und den Abbildungsgrad einführen. Unser Ziel ist es, die Aussagen und die Beweise der Theoreme von Poincaré-Hopf [1, Seite 35] und Hopf [1, Seite 51] zu verstehen.