Algèbre et Géométries

Un livre de Pascal Boyer
Éditions Calvage et Mounet
collection Tableau Noir

Présentation

J'ai rassemblé dans ce livre les énoncés les plus amusants ou spectaculaires de géométrie classique que j'ai rencontrés au fil de mes lectures. L'idée était de les regrouper, d'après le principe du programme d'Erlangen, selon la géométrie à laquelle ils appartiennent. On parcoure ainsi les diverses géométries, affine, euclidienne, inversive, sphérique, elliptique, projective, hyperbolique pour finir par une rapide introduction à la géométrie algébrique d'A. Grothendieck.

J'ai volontairement écarté les énoncés et preuves calculatoires pour me concentrer sur l'aspect algébrique à travers le point de vue du changement de géométrie:

- on part d'une figure apartenant à une géométrie pauvre (possédant donc beaucoup de transformations et peu d'invariants),

- on lui applique une transformation pour la ramener à une situation plus simple, plus symétrique

- on considère ensuite cette nouvelle figure dans une géométrie plus riche possédant plus d'invariants.

L'ouvrage rassemble ainsi des énoncés classiques, Ménélaus, Ceva, Pappus, Desargues, Pascal, Brianchon, Napoléon, Poncelet.., et d'autres un peu moins, Barany, Borsuk, Bolyai, Dehn-Hadwiger, Cayley-Menger, Clifford... en passant par quelques énoncés visuellement marquants Tarski, pavage de Penrose, frises, Jiang Zemin, problèmes de navigation, cartographies, position du photographe, zigzags, quadrilatères articulés... et bien d'autres choses passionnantes encore.

Les amateurs de géométrie, les professeurs de maths des collèges et lycées, les étudiants au CAPES et à L'agrégation...pourront, je l'espère, agréablement trouver matière à une lecture passionnée. Les prérequis sont très élémentaires et reposent sur une connaissance du vocabulaire de base de l'algèbre linéaire et de la théorie des groupes: aucune connaissance poussée sur ces deux domaines n'est nécessaire.

page 6 ligne -4: $\phi(n) = \phi(o) + \color{blue}{f}(\overrightarrow{on})$ (au lieu de $\vec{f}$).
page 7: l'ensemble des translations de $\mathcal E$ devrait être noté, comme par la suite, $T(\color{blue}{\mathcal{E}})$ et non $T(\vec{\mathcal{E}})$.
page 7 projections affines: projection sur $\color{blue}{\vec{\mathcal{V}}}$ (au lieu de $\vec{V}$).
page 19 démonstration de 2.1.6: Soient $\alpha, \beta, \gamma\in \color{blue}{\mathbb{K}}$ (au lieu de $[0,1]$).
page 22 ligne 4 de la définition 2.2.4: Il existe $\lambda\in \color{blue}{\mathbb{K}}^{\times}$ (au lieu de $\lambda\in\mathbb{R}^{*}$).
page 37 paragraphe 4, concernant la loi de groupe:: le point $(xx':yy':zz')$ n'est pas forcément défini puisque $xx'+yy'+zz'$ peut être nul. Prendre par exemple $(1:1:-1)$ et $(1:1:2)$: le point part à l'infini... Le plus simple serait de se restreindre aux points à l'intérieur du triangle.
page 45 ligne 9 du paragraphe 5.3: puisque $\psi(m_{1}+\lambda\vec{u},\vec{u})=\psi(m_{1},\vec{u})+ \color{blue}{\lambda} F(\vec{u})$ (au lieu de $\psi(m_{1},\vec{u})+F(\vec{u})$).
page 47 démonstration du théorème 5.6.1 ligne 5: les intersections de $\Gamma$ avec la droite $(bc)$ d'équation $\color{blue}{\alpha}=0$ (au lieu de $A=0$).
page 48 dernières lignes de la démonstration de 5.6.1: Celle-ci recoupe $(ab)$ en $\color{blue}{r_{1}}$ (au lieu de $r_{0}$).
page 49 ligne -6: $a*b$ de coordonnées barycentriques homogènes $(\gamma_{0}(B-A)+C\beta_{0}: \gamma_{0}(A-B)+C\alpha_{0}:\color{blue}{C}\gamma_{0})$ (au lieu de $(\gamma_{0}(B-A)+C\beta_{0}: \gamma_{0}(A-B)+C\alpha_{0}:c\gamma_{0})$)
page 50: dans le cas de l'hyperbole la loi de groupe obtenue correspond à celle de $(\color{blue}{\mathbb{K}}^{\times},\times)$ (au lieu de $(K^{\times},\times)$).
page 64 exercice 12 iii): $m'$ est un point du plan $\langle a,b,\color{blue}{d} \rangle$ (au lieu du seul plan $\langle a,b,c \rangle$). Dans la définition des coefficients de $m'$ il faut changer $\gamma'$ en $\delta'$, i.e. $(\alpha'+\beta'+\color{blue}{\delta'})m'=\alpha' a+\beta' b+\delta' d$ (au lieu de $(\alpha'+\beta'+\gamma')m'=\alpha' a+\beta' b+\delta' d$).
page 64 exercice 16 iv): $\color{blue}{o}$ le centre de la conique
page 70 ligne 8: $\left(\int_{x \color{blue}{\in\mathcal{E}}} \chi_{K}(x)\overrightarrow{ax}\mu\right)$ au lieu de $\int_{x}\in\mathcal{E}\chi_{K}(x)\overrightarrow{ax}\mu \text{ )}$.
page 86 corollaire 3.2.4: des ensembles convexes quelconques tels que trois quelconques d'entre eux, il manque le que .
page 87 démonstration de 3.3.1 ligne 3: comme $\color{blue}{\mathcal{X}}\cap\mathcal{D}$ est un convexe compact (au lieu de $\mathcal{A}\cap\mathcal{D}$).
page 87 démonstration de 3.3.3, définition de $K$: $K=\{ 0\leq t_{1},\ldots ,\color{blue}{t_{n+1}} ; t_{1}+\cdots + t_{n+1} = 1 \}$ (au lieu de $\{ 0\leq t_{1},\ldots ,t_{n}+1 ; t_{1}+\cdots + t_{n+1} = 1 \}$).
page 88 ligne 4: il y a un $s$ qui traîne dans $x_{1}\in X_{1},\ldots \color{blue}{s}, x_{d+1}\in X_{d+1}$.
page 90 ligne 3: tel que trois quelconques de ses points ne sont pas alignés (au lieu de tel que trois quelconques ne sont pas alignés.
page 94: il manque l'indice $2$ aux normes. Par ailleurs ligne 9, on a $\color{red}{|||D_1|||=\max_i d_i}$.
page 98 ligne 2 après la figure 4.3: l'angle $\color{blue}{\alpha}$ décroît de $\pi$ à 0 tandis que $\color{blue}{\beta}$ croît de 0 à $\pi$ (au lieu de l'angle $a$ décroît de $\pi$ à 0 tandis que $b$ croit de 0 à $\pi$). Il vaudrait par ailleurs mieux renommer le dernier angle $\gamma$ plutôt que $c$.
page 112 paragraphe 3.1.2 remarque: $\color{blue}{\mathbb R^*}$ au lieu de $R^*$.
page 124 figure 4.8: le cercle tangent à $U'$ et $T'$ est dessiné du mauvais côté puisque dans la preuve on écrit $AU'=UU'-AU$. Par ailleurs dans la première formule centrée de la page 125, il faut supprimer le $RR'$ du milieu.
page 150 6.4.3: Le $f$-vecteur d'un polytope simple (au lieu de polytope simplexe).
page 152 7.1.2: repérés par les affixes $a_{1},\ldots, \color{blue}{a_{n}}$ (au lieu de $a_{1},\ldots,\alpha_{n}$).
page 171 ligne 1: un disque fermé contenu dans $A$ de centre $\color{blue}{a}$ (au lieu de centre $A$).
page 171 preuve de 8.2.3: $\bar{\mathfrak{S}}$ est dense dans le disque de centre $a$ et de rayon la longueur de $\mathfrak{S}$ mais ce n'est pas un disque.
Comme $\mathfrak{S}'$ est isométrique avec $\mathfrak{S}$, on a $\bar{\mathfrak{S}}\sim\bar{\mathfrak{S}}\cup \color{blue}{\mathfrak{S}}$ (au lieu de $\bar{\mathfrak{S}}\sim\bar{\mathfrak{S}}\cup\mathfrak{S}'$ déjà obtenue).
page 177 ligne 6: $g_1,\cdots,g_n,h_1,\cdots \color{blue}{h}_m$
page 197 exercice 9.25: Michel Langevin.
page 258 figure 3.10: $\color{red}{I_{a}}$ n'est pas sur la bonne droite (il devrait être sur $(AI)$).
page 276 figure 4.9: le point $\color{ref}{M}$ s'appelle $P$ dans le texte et les points $\color{red}{M_{i}}$ sont mal placés (ils devraient être aux points de tangence).
page 279 démonstration du théorème 4.3.4: il manque le $z$ dans la formule de $Q'(z)=re^{i\theta}P'(re^{i\theta}\color{blue}{z})$ (au lieu de $re^{i\theta}P'(re^{i\theta})$). A la fin de la preuve, il faut remplacer le $x$ par un $z$: $P'(z)=3z^{2}+3j+3j^{2}=3\color{blue}{z}^{2}-3$ (au lieu de $3x^{2}-3$).
page 354 corollaire 2.3.4: l'inégalité est dans le mauvais sens, dans l'énoncé et dans la dernière ligne de la démonstration.
page 447, la discussion avant le paragraphe 3.1: étrangement et contrairement à ce qui est choisi ensuite, on paramètre avec $y/x$. Il vaut mieux garder pour la suite (et comme par exemple au paragraphe 3.1 juste en dessous) garder le paramétrage $x/y$. En outre la bijection avec $\mathbb P_1(\mathbb K)$ n'est pas canonique , contrairement à ce qui est écrit juste avant le paragraphe 3.1.
page 455 démonstration du point 2) de 3.4.2: le résultat découle alors de la proposition 3.3.3 (au lieu de 3.4.2.).
page 465 figure 4.1: il faut descendre un peu $q'$ qui doit être à l'intersection de $(bb')$ et $D$. Tel qu'il est placé ce serait plutôt le point $m$. Dans la démonstration, il faut considérer la projection de centre $m$ de $D$ sur $(ac)$ envoie $(p',q',r',\color{red}{q})$ sur $(a,b',c,q)$ (au lieu de $(p',q',r',r)$ sur $(a,b',c,q)$).
page 471 ligne 2 de la proposition 5.1.1: $\bar a, \color{blue}{\bar b}, \bar c,\bar d$
page 472 dans la démonstration de 5.1.4: $e_{3}\wedge e_{1} = e_{2}^{\color{blue}{*}}$ (au lieu de $e_{2}^{\wedge}$).
page 473 ligne 4 depuis le bas: $[a,a',c].[b,b',\color{blue}{c'}]=[a,',c'].[b,b',c]$
page 479 ligne 5 depuis le bas: $X^2 + \color{blue}{Y^2}+T^2$
page 487, corollaire 6.6.4: on en note $\color{red}{m_{a},m_{b},m_{c},m_{d}}$ les intersections respectives avec $M$ (au lieu de $a,b,c,d$ qui sont les points de contacts de $A,B,C,D$).
page 493 démonstration de 6.8.1: $D\longrightarrow \color{blue}{p}^{*}$ (au lieu de $m^{*}$) induite par la polarité qui à $m\in D$ associe sa polaire $m^{\bot}$ qui passe par $D^{\bot}=\color{blue}{p}$ (au lieu de $m$). Il faudrait aussi remplacer les $\mathcal{C}$ par $\color{blue}{\Gamma}$.
page 499 ligne 4: issue de $I$ avec une autre issue de $J$ (au lieu de autre une).
page 504 6.11.7 remarque: alors ils ne sont pas situés sur une même droite isotrope (au lieu de une droite isotrope).
page 506 ligne 2: une conique du plan projectif est déterminée (au lieu de déterminé).
page 508 la remarque au milieu de la page: la droite joignant $m$ au milieu de $\color{blue}{[ab]}$ (au lieu de $[AB]$).
page 660 correction de l'exercice 17 i): soit $\color{blue}{f}$ l'homothétie (au lieu de $h$)
page 678 correction de l'exercice III.30: remplacer les $\vee$ par $\color{blue}{\wedge}$.