(Cette page s'intéresse à la recherche. Pour des ressources pour l'enseignement et la vulgarisation, voir ici.)

Perceptions de la croissance exponentielle (publications)

    L'histoire très connue des grains de blé qui se multiplient sur les cases de l'échiquier illustre le biais exponentiel, qui est la tendance à considérablement sous-évaluer la vitesse de croissance d'une suite géométrique. Bien que l'histoire des grains sur l'échiquier soit plus que millénaire, le biais exponentiel lui-même a été peu étudié. Les quelques études scientifiques sur la question ont été l'œuvre de psychologues (notamment William Wagenaar, dans les années 70-80, à qui s'est opposé Gregory Jones) et, plus récemment, d'économistes au détour de considérations sur la perception de l'inflation. La didactique des mathématiques, elle, ne semble pas s'y être intéressée.
    Dans deux travaux récents, j'ai abordé la question selon deux aspects. Le premier est le caractère mystique que l'exponentielle a acquis aujourd'hui dans nos représentations collectives, en lien avec diverses peurs contemporaines (la peur de la croissance démographique, par exemple, qui nous ramène à Malthus et même bien avant). La croissance exponentielle est souvent qualifiée d'"impossible à se représenter", d'"affolante", etc. Le second aspect est une représentation simple d'un phénomène exponentiel, destinée à favoriser l'appropriation intuitive de son comportement qualitatif. L'idée, testée à plusieurs reprises, consiste à "faire glisser la virgulee, en l'autorisant à se superposer aux chiffres au fil du temps. Dans le cas du doublement des grains sur l'échiquier, par exemple, l'égalité approchée $ 2^{10}\approx 1000$ suggère qu'avancer de dix cases revient à faire glisser la virgule de trois rangs (en fait, légèrement plus) vers la droite (on passe de $1=1,00000$ à un peu plus de $1000=1000,00$). Avancer de cinq cases revient donc à atteindre un nombre de grains que l'on écrira sous la forme $100\!\!\!,000$ : la virgule s'est déplacée d'un rang et demi (ce qui correspond à l'égalité, approchée toujours, $2^5\approx 10^{1,5}$) et se trouve superposée à l'un des $0$. On peut certes facilement calculer de tête une approximation du nombre de grains sur la 64${}^{\mbox{e}}$ case à partir de la relation $2^{10}\approx 10^3$. Toutefois, pour des suites géométriques de raison différente de $2$, une telle facilité n'apparaît pas toujours. L'intérêt théorique de la représentation en virgule glissante est son caractère qualitatif plutôt que quantitatif, qui permet de ramener l'exponentiel au linéaire, en montrant qu'il n'est autre qu'un "linéaire sur un nombre de chiffres".


Mots circulaires et construction de l'ensemble $\mathbb{Q}$ (publications)

    À l'origine, les mots circulaires sont une notion introduite dans le cadre de recherches en mathématiques (voir ici) et qui s'est révélée propice à des investigations didactiques, menées en collaboration avec Laurent Vivier (LDAR, université Paris-Diderot). En combinatoire, un mot est une suite (finie ou infinie) d'éléments d'un ensemble $A$ appelé alphabet ($A$ est en général supposé fini). Lorsque $A$ est composé des chiffres de $0$ à $9$, les mots finis correspondent aux entiers positifs selon les modalités définies par la numération en base dix. Dans ce système de numération, un nombre réel est la donnée de deux mots : l'un est fini (la partie entière), l'autre infini (la partie fractionnaire, qui se finit éventuellement par une infinité de $0$).
    Il est bien connu que les nombres rationnels sont ceux dont l'écriture en base dix est périodique à partir d'un certain rang. Il est donc possible, pour les rationnels, d'avoir recours à une représentation alternative, composée de deux mots finis, le premier pour la partie apériodique et le second pour la partie périodique. (EN toute rigueur il faut aussi, dans cette représentation, préciser la place de la virgule.) Par exemple, $275/27=10,185185185185\ldots$ se représente par le couple de mots $(10,185)$.
    Pour mener des opérations arithmétiques à partir de cette représentation alternative des rationnels, il convient d'envisager la partie périodique non comme un mot fini ordinaire (comme l'est la partie apériodique), mais comme un mot circulaire, c'est-à-dire dont la dernière lettre est suivie de la première. Cela conduit à reformuler diverses règles, comme celle de la retenue. Voici un exemple d'addition, dans laquelle les parties périodiques sont surlignées :


    Le début de l'addition se fait comme d'habitude, mais la retenue qui apparaît lors de l'opération $2+9$ se reporte aussi à droite de la partie périodique (elle est ici signalée par un $1$ entre parenthèses). Cette représentation à l'aide des mots circulaires fournit un registre alternatif aux fractions pour les nombres rationnels. Elle donne aussi des outils pour éclairer la si mystérieuse égalité $1=0,999\ldots$, dont les démonstrations "élémentaires" classiques sont souvent défaillantes (par exemple lorsqu'on écrit $1/3=0,3333\ldots$ puis qu'on multiplie par $3$, sans pouvoir donner de justification rigoureuse à l'égalité $3\times 0,3333\ldots=0,9999\ldots$).


Questions d'enfants sur les mathématiques : les "Minipommes" (publications)

    Destinée aux élèves du degré primaire de 9 à 11 ans, la collection "Les Minipommes" des éditions Le Pommier, à laquelle j'ai contribué à cinq reprises, propose de courts ouvrages illustrés qui abordent un sujet scientifique au travers d'une petite histoire. La conception d'un ouvrage de cette collection se déroule d'une manière particulière et originale. Une fois le thème choisi, les élèves d'une classe sont invités par leur enseignant à réfléchir durant une heure aux questions qu'ils aimeraient poser dessus. Après cela, l'auteur, accompagnée de l'éditrice qui prend des notes, se présente devant la classe, écoute les questions et y répond durant environ une heure et demie. Le matériau ainsi constitué sert de base à une petite histoire au cours de laquelle les questions sont reprises. Une fois rédigé, le manuscrit est soumis à la classe, qui le lit avec son enseignant, puis le commente à l'auteur lors d'une seconde séance. Le texte est alors retravaillé et complété par des illustrations et des propositions d'activités. Un supplément pédagogique pour les enseignants fait l'objet d'un cahier séparé, il consiste en une liste d'activités supplémentaires et en une articulation avec le programme de mathématiques du cycle 3 français.
    Au-delà de la démarche pédagogique sur telle ou telle notion du programme, l'originalité des résultats tient beaucoup à la nature des questions posées. C'est là un effet important du contrat didactique très particulier mis en place (les élèves définissent eux-même le champ de la discussion, ils ne sont pas évalués, ils ont pour rôle d'aider et de critiquer un auteur, et non un enseignant ou un chercheur). Au cours des séances, il est ainsi possible d'aborder des "questions intimes" souvent inattendues. Ainsi, lors des séances préparatoires pour un ouvrage sur le hasard, les élèves n'avaient eu de cesse d'amener la discussion sur le terrain métaphysique. (D'où vient le hasard ? Existe-t-il vraiment ? Si j'ai une mauvaise note, ou si deux voitures ont un accident, est-ce que c'est du hasard ?). Les aspects ludiques (jeux de hasard, paradoxes des probabilités) ou appliqués (statistiques), quant à eux, ne les avaient que très modérément intéressés. De même, pour un livre traitant de l'infini, les discussions ont bien vite mené à des interrogations existentielles (mort, fin du monde, fin des temps).
    Plusieurs de ces ouvrages ont été traduits en italien et en espagnol. L'édition italienne de l'un d'eux, Voyage au pays des nombres, a obtenu en 2009 le prix Pianeta Galileo du Conseil régional de Toscane, décerné par les élèves de cette région.


AlPaGe : réflexions théoriques sur la vulgarisation des mathématiques (publications)

    La vulgarisation des mathématiques connaît un certain essor, avec de nombreuses initiatives qui ont vu le jour ces dernières années. En revanche, fort peu de réflexions de nature théorique ont été menées à son sujet. Les rares occasions de rencontres institutionnelles demeurent principalement l'occasion de présenter des actions et des innovations. Pour mener une réflexion plus globale, nous avons créé avec Hacène Belbachir (université d'Alger), Pierre Audin (Palais de la découverte, Paris), Pierre-Alain Chérix et Shaula Fiorelli-Vilmart (université de Genève), un groupe de réflexion. Baptisé AlPaGe (Alger-Paris-Genève), ce groupe se réunit par visioconférences environ une fois par mois et prépare une série d'articles de synthèse de réflexions communes sur la nature de la vulgarisation des mathématiques et ses spécificités par rapport à celle d'autres disciplines scientifiques.

Sur un manuel de sixième pour l'Afrique francophone subsaharienne (publications)

    Avec Laurent Vivier (LDAR, université Paris-Diderot), nous avons fait paraître en 2009 un manuel scolaire à destination des élèves de sixième de Côte d'Ivoire, qui a été ensuite adapté pour le Cameroun en 2010. Ce manuel a vocation à être progressivement adapté à une vingtaine de pays d'Afrique francophone subsaharienne. Nous en avons tiré une expérience concrète des contraintes posées par l'élaboration d'un manuel qui se devait d'être en stricte adéquation avec un programme officiel, aussi bien pour son contenu disciplinaire que dans son esprit pédagogique (l'approche par compétences). Du point de vue théorique, nous en avons tiré une analyse du programme sur lequel se calque le manuel, analyse qui traite aussi de la manière dont nous avons tenté de satisfaire les contraintes nombreuses et contradictoires qui se sont présentées, parmi lesquelles :

• des contraintes liées à la situation générale du public visé (élèves souvent non francophones, enseignants fréquemment très peu formés, conditions matérielles parfois précaires avec des classes pouvant compter jusqu'à une centaine d'élèves…).
• des contraintes tenant à certaines incohérences du programme (par exemple s'agissant de la médiatrice de $[AB]$, définie comme droite perpendiculaire à $[AB]$ et passant par son milieu, sans que soit au programme sa propriété d'être l'ensemble des points équidistants de $A$ et de $B$).
• des contraintes éditoriales, avec notamment un nombre de pages très strictement limité pour traiter un programme très (trop) ambitieux.

Une approche intuitive de la théorie des opérateurs (publication)

    Il s'agit d'un travail qui s'intéresse à l'enseignement des mathématiques en master 1. Le constat de départ est que la visualisation courante de l'algèbre linéaire en dimension finie étudiée au niveau du bachelor n'est en général pas réinvestie lors des cours de master sur la théorie de opérateurs (exception faite de l'algèbre bilinéaire). Parce que les nouveaux problèmes de convergence et de non-équivalence des normes constituent l'essentiel des difficultés théoriques que posent la dimension infinie par rapport à la dimension finie, l'idée même de s'appuyer sur la représentation matricielle a quelque chose d'incongru. On peut la défendre sur le plan mathématique en rappelant que, dans le cadre de la théorie des distributions, le théorème des noyaux de Schwartz établit une correspondance entre opérateurs et "matrices infinies" très comparable à celle entre endomorphismes de $\mathbb{R}^n$ et matrices $n\times n$.

D'un point de vue moins abstrait et davantage tourné vers l'enseignement, une transition plus douce, fût-elle partielle, de l'algèbre linéaire à la théorie des opérateurs est une possibilité qui mérite d'être considérée. Une expérience menée avec cinq étudiants de début de master suggère que l'idée dispose d'un certain potentiel. Cette expérience a mis en lumière deux points en apparence contradictoires :

• d'un côté, les difficultés qui demeurent considérables pour les étudiants à se représenter un endomorphisme en dimension finie, même simple, lorsque la dimension est une valeur $n$ qui n'est pas explicite ;
• d'un autre côté, l'audace des étudiants pour suggérer une représentation d'un opérateur de dimension infinie à partir du formalisme matriciel de la dimension finie (audace qui les a fait s'approcher très près de la formule des opérateurs à noyau).
  

Liste des publications par thème (voir ici la liste complète de mes publications)

Perceptions de la croissance exponentielle (présentation)

    Benoît Rittaud, "Une approche de la croissance exponentielle par l'introduction d'une virgule glissante", Annales de didactique et de sciences cognitives 18 (2013), 91-113.

    Benoît Rittaud, "Les utopies exponentielles", Actes des 4${}^e$ rencontres internationales Jules Verne (2012).

    Benoît Rittaud, "Les grains sur l'échiquier : entre intuition, calcul et mystique", Short proceedings du colloque "La didactique des mathématiques : approches et enjeux. Hommage à Michèle Artigue" (2012). Lire l'article.


Mots circulaires et construction de l'ensemble $\mathbb{Q}$ (présentation)

    Benoît Rittaud & Laurent Vivier, "The field $\mathbb{Q}$ from the standpoint of circular words" (soumis).

    Benoît Rittaud & Laurent Vivier, "Different praxeologies for rational numbers in decimal system - the $0.\overline{9}$ case", Proceedings of CERME 8, Antalya (2013).

    Benoît Rittaud & Laurent Vivier, "Does Numerology Allow a group to have Two Identity Elements?", The American Mathematical Monthly 119 n°4 (2012), 439.



Questions d'enfants sur les mathématiques : les "Minipommes" (présentation)

    Benoît Rittaud, "Libres perspectives enfantines sur les mathématiques" (soumis).

    Benoît Rittaud, Les Merveilles du calcul, Le Pommier (2014).

    Benoît Rittaud,  Jusqu'à l'infini !, Le Pommier (2011).

    Benoît Rittaud, La Géométrie ou le monde des formes, Le Pommier (2009).

    Benoît Rittaud, Les Mystères du hasard, Le Pommier (2008).

    Benoît Rittaud, Voyage au pays des nombres, Le Pommier (2007).


AlPaGe : réflexions théoriques sur la vulgarisation des mathématiques (présentation)

    Benoît Rittaud, "Vulgariser les zones d'ombre", Actes du colloque EMF 2012 - Genève, 2-6 février 2012. Lire l'article.

    Benoît Rittaud, "Ces publics à ne pas oublier", Actes du colloque international de vulgarisation scientifique, Tlemcen (Algérie) 2012 (à paraître).


Sur un manuel de sixième pour l'Afrique francophone subsaharienne (présentation)

Benoît Rittaud & Laurent Vivier, Maths 6${}^{\mbox{e}}$, Edicef/Hachette Livre International (2009).

Benoît Rittaud & Laurent Vivier, "La différenciation des curricula des pays de l'Afrique francophone et de l'Océan Indien : L'exemple de la République de Côte d'Ivoire", Actes du colloque de l'Espace Mathématique Francophone (Dakar, 6-10 avril 2009). Lire l'article.

Une approche intuitive de la théorie des opérateurs (présentation)

    Benoît  Rittaud, "Théorie intuitive des opérateurs en Master 1", Repères-IREM n°93 (2013), 37-46.


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